bon j'avais préparé un autre petit texte mathématique , ça completera celui de Sceptique
la version "continue" de l'accroissement par annuité est la fonction exponentielle (l'accroissement se fait alors de maniere continue et non par le versement d'interets tous les ans ).
une fonction exponentielle croissante (resp décroissante) est du type A exp(kt) (resp exp (-kt))
A est la valeur initiale à t = 0, k est la constante caractéristique de l'exponentielle.
Elle a une propriété fondamentale (c'est meme une sorte de définition de l'exponentielle) : au bout d'un temps T, la fonction est toujours multipliée (resp divisée) par le même facteur X.
c'est à dire f(t+T) = X f(t)
X est constant et ne dépend que de T par X = exp(kT) (ou exp(-kT) )
le taux de croissance (ou de décroissance) annuel , c'est la variation relative de la fonction apres un an, donc (f(t+1)-f(t))/f(t)
on voit tout de suite que c'est (exp(k)-1) (ou exp(-k) -1) , donc c'est constant
Pour k petit, on a exp(k) - 1 = k : on voit donc que k n'est rien d'autre que ce taux de croissance (ou -k quand ça décroit), qui reste constant (et inversement, d'où la loi des interets composés à taux constant, ça donne une exponentielle).
comme au bout d'un temps T , la fonction a été multiplié (ou divisée) par exp(kT), on peut définir des temps particuliers
* le temps de doublement (resp division par 2) tel que exp(kT) = 2 on trouve T = ln(2)/k = 0,7/k = 70/(100*k)
avec 100*k = taux exprimé en %
* le temps T=1/k = 100 /(100*k) au bout duquel la fonction a été multipliée par e ou par 1/e : c'est proche du précédent à 30 % près.
En fait il faut se souvenir qu'une croissance ou une décroissance à x % par an correspond à un temps "caractéristique" de doublement ou de division par deux de 70/x
par exemple 1 % -> 70 ans
2% ->35 ans
7% -> 10 ans
etc...
du fait que l'exponentielle double tous ces temps là, on s'aperçoit vite que ça donne un ordre de grandeur de la durée du phénomène : ça ne peut pas durer beaucoup plus que quelques temps de doublement, ou alors ça devient soit catastrophiquement grand, soit minusculement petit. Donc le taux de croissance (resp décroissance) fixe automatiquement la durée du phénomène en question : quelques fois l'inverse de ce taux.
Pour le lien avec les URR, ca vient du fait que si la production décroit exponentiellement après le pic, elle est de la forme Pmax exp(-kt). La quantité totale extraite apres le pic sera alors l'intégrale de cette fonction, et les mathématiques élementaires nous disent que c'est Pmax/k
d'ou la loi tres simple :
URR (restant apres le pic) = production maximale au pic / taux de décroissance annuel
ou taux de décroissance annuel = production maximale /URR qui n'est autre que l'invesre du fameux rapport R/P, qu'on nous présente comme "le temps qu'il nous reste avant d'épuiser le pétrole" (30 à 40 ans donc)
On voit donc l'interprétation correcte de ce temps : ce n'est pas le temps pendant lequel on est encore tranquille, puisque les problemes demarrent des le pic ! en revanche, c'est le temps caractéristique de l'exponentielle, c'est à dire le temps pendant lequel la prodcution va diminuer d'un facteur 1/e (qui n'est pas tres loin de 1/2).
C'est pour ça que je dis qu'apres le pic, tout ne va pas s'effondrer brutalement. Le rapport R/P = 30 à 40 ans signifie aussi que la décroissance s'effectuera sur ce genre de temps, a moins que la production ne chute beaucoup plus brutalement, ce qui signifie qu'on arreterait d'extraire le pétrole bien avant la fin des réserves. Je n'en vois pas clairement la raison physique ...
.
bon j'avais préparé un autre petit texte mathématique , ça completera celui de Sceptique ;-)
la version "continue" de l'accroissement par annuité est la fonction exponentielle (l'accroissement se fait alors de maniere continue et non par le versement d'interets tous les ans ).
une fonction exponentielle croissante (resp décroissante) est du type A exp(kt) (resp exp (-kt))
A est la valeur initiale à t = 0, k est la constante caractéristique de l'exponentielle.
Elle a une propriété fondamentale (c'est meme une sorte de définition de l'exponentielle) : au bout d'un temps T, la fonction est toujours multipliée (resp divisée) par le même facteur X.
c'est à dire f(t+T) = X f(t)
X est constant et ne dépend que de T par X = exp(kT) (ou exp(-kT) )
le taux de croissance (ou de décroissance) annuel , c'est la variation relative de la fonction apres un an, donc (f(t+1)-f(t))/f(t)
on voit tout de suite que c'est (exp(k)-1) (ou exp(-k) -1) , donc c'est constant
Pour k petit, on a exp(k) - 1 = k : on voit donc que k n'est rien d'autre que ce taux de croissance (ou -k quand ça décroit), qui reste constant (et inversement, d'où la loi des interets composés à taux constant, ça donne une exponentielle).
comme au bout d'un temps T , la fonction a été multiplié (ou divisée) par exp(kT), on peut définir des temps particuliers
* le temps de doublement (resp division par 2) tel que exp(kT) = 2 on trouve T = ln(2)/k = 0,7/k = 70/(100*k)
avec 100*k = taux exprimé en %
* le temps T=1/k = 100 /(100*k) au bout duquel la fonction a été multipliée par e ou par 1/e : c'est proche du précédent à 30 % près.
En fait il faut se souvenir qu'une croissance ou une décroissance à x % par an correspond à un temps "caractéristique" de doublement ou de division par deux de 70/x
par exemple 1 % -> 70 ans
2% ->35 ans
7% -> 10 ans
etc...
du fait que l'exponentielle double tous ces temps là, on s'aperçoit vite que ça donne un ordre de grandeur de la durée du phénomène : ça ne peut pas durer beaucoup plus que quelques temps de doublement, ou alors ça devient soit catastrophiquement grand, soit minusculement petit. Donc le taux de croissance (resp décroissance) fixe automatiquement la durée du phénomène en question : quelques fois l'inverse de ce taux.
Pour le lien avec les URR, ca vient du fait que si la production décroit exponentiellement après le pic, elle est de la forme Pmax exp(-kt). La quantité totale extraite apres le pic sera alors l'intégrale de cette fonction, et les mathématiques élementaires nous disent que c'est Pmax/k
d'ou la loi tres simple :
URR (restant apres le pic) = production maximale au pic / taux de décroissance annuel
ou taux de décroissance annuel = production maximale /URR qui n'est autre que l'invesre du fameux rapport R/P, qu'on nous présente comme "le temps qu'il nous reste avant d'épuiser le pétrole" (30 à 40 ans donc)
On voit donc l'interprétation correcte de ce temps : ce n'est pas le temps pendant lequel on est encore tranquille, puisque les problemes demarrent des le pic ! en revanche, c'est le temps caractéristique de l'exponentielle, c'est à dire le temps pendant lequel la prodcution va diminuer d'un facteur 1/e (qui n'est pas tres loin de 1/2).
C'est pour ça que je dis qu'apres le pic, tout ne va pas s'effondrer brutalement. Le rapport R/P = 30 à 40 ans signifie aussi que la décroissance s'effectuera sur ce genre de temps, a moins que la production ne chute beaucoup plus brutalement, ce qui signifie qu'on arreterait d'extraire le pétrole bien avant la fin des réserves. Je n'en vois pas clairement la raison physique ...
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